Wie man bei der Integration von Funktionen durch Substitution vorgeht, zeigen wir dir anschaulich mit Hilfe von Beispielen in diesem Kurstext. 1 Die Substitutionsmethode führt also nicht notwendigerweise auf einfachere Integrale. Partielle Integration. Aus der Differenzialrechnung kennen wir die. 2 Beispiel: Substitutionsmethode in uneigentlichen Integralen (Gaußsches Integral): Wir gehen davon aus, dass. ∞. ∫, e−x2 dx = __ √ π. −∞. (31). gilt und. 3 Durch die geschickte Substitution lässt sich das Integral einfacher ausrechnen. Ohne die Substitution sind manche Integrale nicht mit klassischen Regeln lösbar. 4 Es gibt zwei Arten uneigentlicher Integrale: Erster Art: Die Integrationsgrenzen sind unbeschränkt. Das heißt und/oder sind gleich oder. Zweiter Art: ist an den Integrationsgrenzen nicht definiert. Das heißt und/oder ist nicht definiert. Generell sind also uneigentliche Integrale, solche mit kritischen Werten in den Grenzen. 5 In calculus, integration by substitution, also known as u-substitution, reverse chain rule or change of variables, is a method for evaluating integrals and antiderivatives. It is the counterpart to the chain rule for differentiation, and can loosely be thought of as using the chain rule "backwards.". 6 "Integration by Substitution" (also called "u-Substitution" or "The Reverse Chain Rule") is a method to find an integral, but only when it can be set up in a special way. The first and most vital step is to be able to write our integral in this form: Note that we have g (x) and its derivative g' (x) Like in this example. 7 Uneigentliches Integral. Ein uneigentliches Integral ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Analysis. Mit Hilfe dieses Integralbegriffs ist es möglich, Funktionen zu integrieren, die einzelne Singularitäten aufweisen oder deren Definitionsbereich unbeschränkt ist und die deshalb im eigentlichen Sinn nicht integrierbar sind. 8 $$\begin{aligned} \int _0^1\frac{\mathrm {d}x}{x^\alpha }=\left\{ \begin{array}{rl}\infty, &{} \text {falls}\,\,\alpha \ge 1\\ \frac{1}{1-\alpha }, &{} \text {falls. 9 a) F¨ur beliebiges R > 2 erhalten wir mittels der Substitution t = lnx, dt = x−1 dx Z R 2 1 x(lnx)2 dx = Z lnR ln2 1 t2 dt = − 1 t lnR ln2 = 1 ln2 − 1 lnR. F¨ur R → ∞ strebt dies gegen (ln2)−1; das uneigentliche Integral konvergiert also und hat diesen Wert. b) Wir zeigen, dass dieses Integral ” am linken Rand“ divergent ist. substitution integral grenzen 10 integration durch substitution herleitung 12